cmath — Математические функции для комплексных чисел¶

Преобразование в полярные координаты и из них¶

Комплексное число Python z хранится внутри системы с использованием прямоугольных или * декартовых* координат. Оно полностью определяется своей действительной частью z.real и своей мнимой частью z.imag. Другими словами:

z == z.real + z.imag*1j

Полярные координаты дают альтернативный способ представления комплексного числа. В полярных координатах комплексное число z определяется модулем r и фазовым углом phi. Модуль упругости r - это расстояние от z до начала координат, а фаза phi - это угол наклона против часовой стрелки, измеренный в радианах, от положительной оси x до отрезка прямой, соединяющего начало координат с z.

Для преобразования исходных прямоугольных координат в полярные и обратно можно использовать следующие функции.

cmath.phase(x)¶

Возвращает фазу x (также известную как аргумент x) в виде числа с плавающей точкой. phase(x) эквивалентно math.atan2(x.imag, x.real). Результат лежит в диапазоне [-*π*, π], а отрезок ветви для этой операции лежит вдоль отрицательной вещественной оси. Знак результата совпадает со знаком x.imag, даже если x.imag равно нулю:

>>> phase(complex(-1.0, 0.0))
3.141592653589793
>>> phase(complex(-1.0, -0.0))
-3.141592653589793

cmath.polar(x)¶

Возвращает представление x в полярных координатах. Возвращает пару (r, phi), где r - модуль x, а phi - фаза x. polar(x) эквивалентно (abs(x), phase(x)).

cmath.rect(r, phi)¶

Возвращает комплексное число x с полярными координатами r и phi. Эквивалентно r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j).

Степенные и логарифмические функции¶

cmath.exp(x)¶

Верните e, возведенное в степень x, где e - основание натуральных логарифмов.

cmath.log(x[, base])¶

Возвращает логарифм от x до заданного основания. Если основание не указано, возвращает натуральный логарифм от x. Отсекается одна ветвь от 0 вдоль отрицательной действительной оси до -∞.

cmath.log10(x)¶

Возвращает логарифм значения x по основанию 10. Это имеет тот же разрез, что и log().

cmath.sqrt(x)¶

Возвращает квадратный корень из x. Эта ветвь имеет тот же разрез, что и log().

Тригонометрические функции¶

cmath.acos(x)¶

Верните косинус дуги x. Есть два разреза ветвей: один проходит вправо от 1 вдоль действительной оси до ∞. Другой проходит влево от -1 вдоль действительной оси до -∞.

cmath.asin(x)¶

Возвращает угловой синус x. Здесь те же срезы ветвей, что и у acos().

cmath.atan(x)¶

Верните арктангенс x. Есть два отрезка ветви: один проходит от 1j вдоль воображаемой оси до ∞j. Другой проходит от -1j вдоль воображаемой оси до -∞j.

cmath.cos(x)¶

Возвращает косинус x.

cmath.sin(x)¶

Возвращает синус x.

cmath.tan(x)¶

Верните касательную к x.

Гиперболические функции¶

cmath.acosh(x)¶

Возвращает обратный гиперболический косинус x. Имеется одна ветвь, проходящая влево от 1 вдоль действительной оси до -∞.

cmath.asinh(x)¶

Возвращает обратный гиперболический синус x. Есть два отрезка ветви: один проходит от 1j вдоль воображаемой оси до ∞j. Другой проходит от -1j вдоль воображаемой оси до -∞j.

cmath.atanh(x)¶

Возвращает обратную гиперболическую касательную к x. Есть два отрезка ветви: один проходит от 1 вдоль действительной оси до ∞. Другой проходит от -1 вдоль действительной оси до -∞.

cmath.cosh(x)¶

Возвращает гиперболический косинус x.

cmath.sinh(x)¶

Возвращает гиперболический синус x.

cmath.tanh(x)¶

Возвращает гиперболический тангенс x.

Классификационные функции¶

cmath.isfinite(x)¶

Возвращает True, если и действительная, и мнимая части x конечны, и False в противном случае.

Добавлено в версии 3.2.

cmath.isinf(x)¶

Возвращает True, если действительная или мнимая часть x равна бесконечности, и False в противном случае.

cmath.isnan(x)¶

Возвращает True, если действительная или мнимая часть x равна NaN, и False в противном случае.

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)¶

Возвращает True, если значения a и b близки друг к другу, и False в противном случае.

Будут ли два значения считаться близкими или нет, определяется в соответствии с заданными абсолютными и относительными допусками.

rel_tol - относительный допуск - это максимально допустимая разница между a и b относительно большего абсолютного значения a или b. Например, чтобы задать допуск в 5%, введите rel_tol=0.05. Допустимое значение по умолчанию равно 1e-09, что гарантирует, что два значения совпадают примерно с точностью до 9 десятичных знаков. rel_tol должно быть больше нуля.

abs_tol - минимальный абсолютный допуск, полезный для сравнений, близких к нулю. abs_tol должен быть как минимум равен нулю.

Если ошибок не возникнет, результатом будет: abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol).

Специальные значения IEEE 754 NaN, inf, и -inf будут обрабатываться в соответствии с правилами IEEE. В частности, NaN не считается близким к какому-либо другому значению, включая NaN. inf и -inf считаются близкими только к самим себе.

Добавлено в версии 3.5.

См.также

PEP 485 – Функция для проверки приблизительного равенства

Константы¶

cmath.pi¶

Математическая константа π в виде числа с плавающей запятой.

cmath.e¶

Математическая константа e в виде числа с плавающей запятой.

cmath.tau¶

Математическая константа τ в виде числа с плавающей запятой.

Добавлено в версии 3.6.

cmath.inf¶

Положительная бесконечность с плавающей запятой. Эквивалентно float('inf').

Добавлено в версии 3.6.

cmath.infj¶

Комплексное число с нулевой действительной частью и положительной бесконечной мнимой частью. Эквивалентно complex(0.0, float('inf')).

Добавлено в версии 3.6.

cmath.nan¶

Значение с плавающей запятой, «не являющееся числом» (NaN). Эквивалентно float('nan').

Добавлено в версии 3.6.

cmath.nanj¶

Комплексное число с нулевой действительной частью и NaN мнимой частью. Эквивалентно complex(0.0, float('nan')).

Добавлено в версии 3.6.

Обратите внимание, что набор функций аналогичен набору в модуле math, но не идентичен ему. Причина использования двух модулей заключается в том, что некоторые пользователи не интересуются комплексными числами и, возможно, даже не знают, что это такое. Они предпочли бы, чтобы math.sqrt(-1) вызывал исключение, а не возвращал комплексное число. Также обратите внимание, что функции, определенные в cmath, всегда возвращают комплексное число, даже если ответ может быть выражен в виде действительного числа (в этом случае комплексное число имеет мнимую часть от нуля).

Примечание о разрезах ветвей: это кривые, вдоль которых данная функция не может быть непрерывной. Они являются необходимым свойством многих сложных функций. Предполагается, что если вам нужно выполнять вычисления со сложными функциями, вы будете разбираться в разрезах ветвей. Обратитесь к любой (не слишком элементарной) книге по комплексным переменным, чтобы узнать больше. Для получения информации о правильном выборе сечений ветвей для численных целей, хорошей ссылкой может быть следующее: